002. category of matrix multiplication @ 평면상에서 회전이동을 나타내는 행렬 A $A = \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix}$ 점(x, y) 를 $\theta$ 만큼 회전이동 (default: 반시계방향, 시계방향은 $-\theta$) 하고 싶다. 회전이동한 점을 (x', y') 라고 하면 그 점을 구하고 싶다. 그럴때 A를 곱해준다. 그러면 새로운 점 (x', y') 가 나오는 것이다. $A \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ $A \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} $ @ 도형의 방정식을 구할때 (ex. 원) 선위에 임의의 점(x, y)를 잡아서 x와 y의 관계식을 구하는데 관계식이 깔끔하면 직교좌표계, 안될때는 극좌표 내지는 매개변수를 이용한다. @ $y = x^{2}$ 이라는 그래프가 있을때 이걸 45도 돌렸을때 나오는 곡선의 방정식은 뭐가 될까? $\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ @ 평면상에서 회전이동을 나타내는 행렬 A의 특징: $A = \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix}$ $A^{n} = \begin{bmatrix} \cos{n\theta} & -\sin{n\theta} \\ \sin{n\theta} & \cos{n\theta} \end{bmatrix}$ 기하학적 의미를 참고해라. @ 행렬의 종류. 대칭행렬. 정방행렬만 가능. 아니면 정의가 안됨. 교대행렬.(사대칭, 유사대칭 ) 직교행렬. @ 대칭행렬이라고 이름을 붙일수 있느냐?의 조건 : $A^{T} = A$ 일때, A를 대칭행렬이라고 한다. $a_{ij} = a_{ji}$ 대각의 원소를 중심으로 위와 아래가 같은 배열을 하고 있다. 대각 원소 자체는 아무거나 해도됨. @ 교대행렬 : $A^{T} = -A$ 일때 A를 교대행렬이라고 한다. $a_{ij} = -a_{ji}$ 대각의 원소는 모두 0이어야 한다. 대각의 원소를 중심으로 위와 아래가 부호가 반대인 배열을 갖는다. @ 모든 정방행렬 A는 대칭행렬과 교대행렬의 합으로 표현 가능하다. $A = \frac{1}{2} ((A+A^{T})+(A-A^{T}))$ $A + A^{T}$ : 대칭행렬. $A - A^{T}$ : 교대행렬. @ 직교행렬. 공학적으로 중요하다. $A = (a_{ij})_{M\times N}$ 일때, $A\cdot A^{T} = I$ 일때 A는 직교행렬이다. 위의 수식은 역행렬의 정의와도 같다. $A^{T} = A^{-1}$ 일때 A는 직교행렬이다. 직교행렬의 예. $A = \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix}$ 회전이동아닌가? 맞다. 직교행렬은 공학적으로 회전이동과 관련이 있다.