003. characteristics of matrix determinent
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행렬식은 행렬파트에서 가장 중요하다.
영어로 determinent 결정론, 결정자 라는 뜻으 로서 행렬파트에서 행렬식 안하면 다른부분을 할수 없다.
모든걸 행렬식을 가지고 계산한다고 보면 된다.
행렬식은 미분방정식, 편미분, 중적분 등에서도 간혹 사용한다.
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$A = (a_(ij))_{n\times n}$ 에 대해서, (정방행렬이 아닐때는 행렬식이 존재하지 않는다.)
A의 행렬식에 대해 고찰해보자. (식이라고 번역하는 이유 : 모양은 행렬의 모양이지만 행렬 안의 원소들이 문자들인데 쭉 계산했을때 식의 모양이 일반적으로 나온다. 공학적으로 이용하는 모양인 식의 모양이 많이 나온다.)
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가리키는 문자 (ex. A)와 원소를 감쌀때 ( ) 또는 [ ] 로 감싸면 행렬이다.
가리키는 문자 (ex. A)와 원소를 감쌀때 | | 로 감싸면 행렬식이다.
A의 행렬식
$= |A|$
$= det(A)$
$= D(A)$
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2*2를 계산하는 가장 빠른 방법은 ad - bc 이다
$|\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}| = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$
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3*3를 계산하는 가장 빠른 방법 : Sarrus 정리
Sarrus 정리의 단점 2가지.
1. 3*3 이하에서만 가능하다.
2. 인수분해 실력이 필요하다. (인수분해 안쓰려면 Laplace 정리를 써야한다.)
Sarrus 정리 장점 : 행렬식의 이해에 도움된다.
$|\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}| = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$
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행렬식의 몇가지 성질.
1. $|A| = |A^{T}|$
ex. $|\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}|$
1. 두개의 행 또는 두개의 열을 바꾸면 행렬식 값은 부호만 바뀐다.
ex. $|\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 5 & -1 \end{bmatrix}|$
1. 하나의 행또는 하나의 열 의 공통인수는 행렬식 밖으로 꺼낼수있다.
열기준예시.
$|\begin{bmatrix} 2a & 4b \\ 3a & 5b \end{bmatrix}| = a|\begin{bmatrix} 2 & 4b \\ 3 & 5b \end{bmatrix}|$
$|\begin{bmatrix} 2a & 4b \\ 3a & 5b \end{bmatrix}| = ab|\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}|$
1. 행렬 A가 3*3 일때
$|2A| = 2^{3}|A|$
1. 하나의 행이나 하나의 열의 원소가 전부 0으로 되어있으면 행렬식은 0가 된다.
1. 두개의 열 또는 두개의 행이 서로 비례관계이면 행렬식값은 0이된다.
이 성질을 나중에 rank할때 사용한다.
ex. 두개의 행이 비례관계인 예시.
$|\begin{bmatrix} 1&2&3 \\ 1&1&1 \\ 2&4&6 \end{bmatrix}|$
1.
행렬식에서 가장 많이 사용되는 성질이다.
이것때문에 아무리 큰 행렬식의 모양도 빨리 계산할 수 있다.
하나의 행 또는 하나의 열에 실수 k를 곱하여 다른행 또는 다른열에 더하거나 뺴어도 행렬식값은 변하지 않는다.
$|\begin{bmatrix} 1&2 \\ 3&4 \end{bmatrix}|$
1.
$|AB| = |A||B|$
1.
$|A...A| = |A|...|A|$
$|A...A| = |A|^{n}$ (시간 단축)
$|A...A| = |A^n|$ (시간 오래걸림)
1.
$|A| \neq 0$ and $|B| \neq 0$ 이면
$|A||B| \neq 0 \neq |AB|$
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직교행렬의 행렬식은 항상 +-1이다.
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여인수(cofactor): 나머지 여, 인수의 나머지
$A = \begin{bmatrix} 1&-1&3 \\ 3&5&7 \\ -1&3&5 \end{bmatrix}$
여인수가 반드시 있다. 안에것들 원소 내지는 인수라 불린다.
1의 여인수 : 1이 포함된 행하고 열을 뺀 나머지 인수의 행렬식. 거기에 부호에 유의한다. 1행 1열의 경우 부호는 $(-1)^{(1+1)} = +$ 이다.
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