01-01 Probability axioms and random variables

@
random = stochastic.
random process.
stochastic process 용어를 더 많이 쓴다.

random 은 random variable 을 지칭할 때 많이 쓰인다.

@
random process 란 .
$X_{1}, X_{1}$, ... 이런게 있고 하나하나가 전부 random variable 이해.
random variable 의 index 가 time 이라고 하면 time 에 따라서 나열한 모습이다.

@
1차원 time 축이 있을때, customer 를 표시한다면 나타나는 양상이 불규칙하다.
이런것도 stochastic process 로 볼수있다.

@
probability and statistics 에서는 random variable 하나를 놓고 평균 E[X], 분산 Var[X] 등을 다룬다.
X 의 pdf, pmf 등을 다룬다.

@
stochastic process 는 이러한 random variable 을 time 에 따라 나열한 것이다.
100번째 customer 가 도착할 시간은? 오전에 올 확률을?.

@
partition of S : $P_{1}, ..., P_{n}$
when, .
$P_{i} \cap P_{j} = \phi, \forall i\neq j$
$\cup_{i=1}^{n}P_{i} = S$

$\mathbb{R}^{n}$ : n 차원 실수 벡터를 모두 모아놓은 집합.
a set of all n dimensional real vectors.

$\mathbb{R}$ : 모든 실수의 집합.

@
$S\cup T = T\cup S$ : cummutative, 순서.
$(S\cup T)\cup V = S\cup (T\cup V)$ : associative, 묶다.
$S\cap(T\cup V) = (S\cap T)\cup(S\cap V)$ : distributive, 분배.

@
probabilistic models : 어떤 현상에 대해서 확률을 정의하려면 몇가지 요소가 필요하다.
1. 표본공간 sample space $\Omega$ : 어떤 실험을 했을 때 나올 수 있는 모든 결과를 모아놓은 집합.
event : 사건.
1. probability law P.
$P : A \rightarrow [0,1], \forall A \leq \Omega $
probability law P 는 all event 를 0과 1 사이 값으로 mapping 시키는 function 이다.