@Chapter. 3. Relation between the last and the density in the universe


@ 지난 1강 2강에서는 우주의 온도와 시간의 관계, 빅뱅이후에 플랑크타임때 중력이 분리되고, 그다음 강력, 그다음 약력과 전자기력이 분리됨.
이런 일련의 과정을 거치고 빅뱅후 38만년때 이른바 디커플링 시대가 도래함. 태초의 빛이 우주로 빠져나온 걸 WMAP인공위성이 촬영했다.

@ 이번시간에서는 우주의 전체적인 운명, 진화를 결정하는 밀도와 여러가지 물리적 변화를 말하겠다.

@ 빅뱅이 터지고, 빛이 자유로워지고, 여러 갤럭시와 별이 생겼다. 현재까지 이를 나타내주는 도표이다.
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@ 우주의 운명은 천문학자들이 이야기하길, 밀도가 결정한다. 이때 밀도라는 것은 임계밀도에 대해서 지금 우주에 있는 물질의 총 에너지량의 비 이다. 이 비가 앞으로, 혹은 과거에 우주가 어떻게 전개 혹은 진화해 왔던가, 를 알아볼떄 가장 중요한 파라미터가 된다. 우주의 여러 현상들은 밀도와 관련이 있다.

@ 출발방정식은 3000억개 갤럭시가 모인 우주전체에 해당하는 프리드만방정식이다.
우주 전체 질량 : M
반지름 : $r(t)$
밀도 : $\rho(t)$
이때 임의의 테스트 갤럭시를 상정한다. 이 갤럭시가 우주를 탈출할수 있는가 없는가 알아보기위해서.
질량 : m
테스트 갤럭시가 받는 힘은 중력
운동해서 나가는 힘이 있다.
위의 전체 시스템에서 총 에너지 : U
$U = \frac{1}{2}mv^{2} - \frac{GMm}{r}$
운동에너지 - 중력에너지
총 에너지를 정리한다.
속도는 시간에 대해 거리를 미분.
우주 전체의 질량 = 부피*밀도 = $\frac{4\pi}{3}r^{3}\rho$
$U = \frac{1}{2}m(\frac{dr}{dt})^{2} - \frac{Gm}{r}\frac{4\pi}{3}r^{3}\rho$
우주의 반지름을 시간에 대해 바뀌는 우주론에서 가장 중요한 스케일 백터 R(t), 함께움직이는 co-moving 좌표시스템 $\omega$ 라고 치환해서
$r(t) = R(t)\omega$
총 에너지를 정리한다.
$\omega$ 는 상수니까 앞으로 나오고 시간에 대한 스케일벡터의 미분으로 바뀐다.
$U = \frac{1}{2}m\omega^{2}(\frac{dR}{dt})^{2} - \frac{4{\pi}Gm}{3}R^{2}\omega^{2}\rho$
양변에 2를 곱해준다.
$2U = m\omega^{2}(\frac{dR}{dt})^{2} - \frac{8{\pi}G}{3}mR^{2}\omega^{2}\rho$
공통 factor 인 $mR^{2}\omega^{2}$ 으로 나눠준다.
$\frac{2U}{mR^{2}\omega^{2}} = (\frac{1}{R}\frac{dR}{dt})^{2} - \frac{8{\pi}G}{3}\rho$
약간 변형시켜 정리한다. -(-2U) 이런식으로 표현하고 분자 분포에 $C^{2}$ 을 곱해줌.
$[(\frac{1}{R}\frac{dR}{dt})^{2} - \frac{8{\pi}G}{3}\rho]R^{2} = \frac{-(-2U)}{m\omega^{2}C^{2}}C^{2}$
$\frac{(-2U)}{m\omega^{2}C^{2}}$ 이 부분이 굉장히 중요한 물리적 의미를 갖기때문에 특별히 K라 표시한다.
$K = \frac{(-2U)}{m\omega^{2}C^{2}}$
정리하면,
$[(\frac{1}{R}\frac{dR}{dt})^{2} - \frac{8{\pi}G}{3}\rho]R^{2} = -KC^{2}$
이 공식이 우주론에서 굉장히 중요한 프리드만 방정식이다. 대다수의 우주론은 이 방정식에서 시작한다.

@ 이 방정식을 우주의 운명과 관계시키기 위해 허블상수와 연계시킨다.
우주의 임계밀도 : $\rho_{c}$ 일때,
$H^{2} = \frac{8{\pi}G}{3}\rho_{c}$
약간 변형시킨다.
$\frac{H^{2}}{\rho_{c}} = \frac{8{\pi}G}{3}$
프리드만 방정식에 위의 상수를 대입한다.
$[(\frac{1}{R}\frac{dR}{dt})^{2} - \frac{8{\pi}G}{3}\rho]R^{2} = -KC^{2}$
$[(\frac{1}{R}\frac{dR}{dt})^{2} - \frac{H^{2}}{\rho_{c}}\rho]R^{2} = -KC^{2}$
사실 $\frac{1}{R}\frac{dR}{dt}$ 이 부분도 허블상수의 2승($H^{2}$)와 같다는 것을 알수 있다.
$\rho$ 는 세가지 카테고리값의 합으로 밝혀졌다. 질량(dark matter or ordinal matter)에의한 밀도 + 상대론적인 입자들(광속으로 달리는 모든 입자, photon, nutrino)에 의한 밀도 + dark energy 에 의한, 를 질량으로 바꾼 밀도.
$\rho = \rho_{m} + \rho_{rel} + \rho_{\Lambda} $
$[H^{2} - {H^{2}}(\frac{\rho_{m}}{\rho_{c}} + \frac{\rho_{rel}}{\rho_{c}} + \frac{\rho_{\Lambda}}{\rho_{c}})]R^{2} = -KC^{2}$
$H^{2}$을 앞으로 뺀다. $\frac{\rho_{m}}{\rho_{c}} + \frac{\rho_{rel}}{\rho_{c}} + \frac{\rho_{\Lambda}}{\rho_{c}}$ 를 $\Omega_{m} + \Omega_{rel} + \Omega_{\Lambda}$ 로 고친다.
$H^{2}[(1 - (\Omega_{m} + \Omega_{rel} + \Omega_{\Lambda})]R^{2} = -KC^{2}$
여기서 복사에너지에 의한 $\Omega_{rel}$ 은 $\frac{1}{10000}$ 정도로 작은 숫자이다. 따라서 0으로 둬도 괜찮다.
$H^{2}[(1 - (\Omega_{m} + \Omega_{\Lambda})]R^{2} = -KC^{2}$
위의 밀도와 우주의 운명을 말할때 관계되는, 우주의 운명을 결정짓는 방정식으로 귀착이 된다.

@ 프리드먼 방정식 : 아인슈타인의 중력방정식으로부터 얻어지는 팽창하거나 수축하는 우주에 대한 식으로서 우주의 밀도와 곡률이 정해져있을때, 우주의 크기가 어떻게 변하는지를 기술한다.
$[(\frac{1}{R}\frac{dR}{dt})^{2} - \frac{8{\pi}G}{3}\rho]R^{2} = -KC^{2}$
밀도가 우주의 운명을 결정하는 양상을 나타내는 방정식.
$H^{2}[(1 - (\Omega_{m} + \Omega_{\Lambda})]R^{2} = -KC^{2}$

@ $\Omega_{m} + \Omega_{\Lambda} = 1$ 이 된다면, K = 0 이다.
$K = \frac{(-2U)}{m\omega^{2}C^{2}}$ 이므로 U = 0
$U = \frac{1}{2}mv^{2} - \frac{GMm}{r}$ 이므로
탈출하려는 운동에너지 $\frac{1}{2}mv^{2}$ 와 $\frac{GMm}{r}$ 이 같다.
탈출하지 못하고 멈춰있거나 등속도로 움직인다.
평평한 우주라고 한다.

@ $\Omega_{m} + \Omega_{\Lambda} > 1$ 이 된다면, K > 0 이다.
U > 0
갤럭시가 우주 전체의 중력에 구속되지 않고 달아난다. 열린우주이다.

@ $\Omega_{m} + \Omega_{\Lambda} < 1$ 이 된다면, K < 0 이다.
U < 0
중력이 더 큰것이다. 은하는 우주를 벗어날 수없다. 닫힌우주이다.

@ 우주의 운명이 위와같은 관계로 정리가 된다.

@ 또하나 우주론에서 중요한 개념이 감속팩터 이다.
$g_{i}(t) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i}(1+3Wi)\Omega_{i}(t) \Rightarrow g(t)=\frac{1}{2}\Omega_{m}-\Omega_{\Lambda}$
감속 지수 $g(t) >0$ 이면 우주는 감속을 하게된다.
감속 지수 $g(t) <0$ 이면 우주는 가속을 하게된다.

@ 우주론 교과서를 보면 항상 나오는 우주전체의 운명을 하나의 도표로서 표현한 그래프는 보자.
이 도표를 이해하면 대략 우주가 앞으로 어떻게 전개될 건가를 짐작할 수 있다.
y축은 dark energy에 의한 밀도 $\Omega$ 값 $\Omega_{\Lambda}$
x축은 mass에 의한 밀도 $\Omega$ 값 $\Omega_{m}$

@ $\Omega_{m} + \Omega_{\Lambda} = 1$ 이 된다면, $K = 0$ 이다. $U = 0$
기울기가 -인 일차선형그래프.
$\Omega_{m} + \Omega_{\Lambda} > 1$ 이 된다면, $K > 0$ 이다. $U > 0$
$\Omega_{m} + \Omega_{\Lambda} < 1$ 이 된다면, $K < 0$ 이다. $U < 0$

@ 허블망원경을 중심으로 연구된 수퍼노바 연구 결과하고 우주론의 inflation theory 에 의해서 나온 임계 밀도에 관한 상태가 있는데 두개를 조합하면 다크에너지하고 다크매터 이런것들의 관계가 밝혀진다.
@ $\Omega_{m} + \Omega_{\Lambda} = 1.02 \pm 0.02$ (계산할때는 1로 놓고 함.) 이 되어야 한다. 는것이 inflation theory(강력과 전자기력 분리되면서 상전이에 의해서 생긴 강력한 에너지 폭발에 의해서 우주가 찰나적으로 커졌다는 이론. 믿기어려운 이론이긴 하지만 WMAP 인공위성 관측 결과가 여러 우주론 모델 중에서 inflation theory 가 맞다고 손을 들어주고 있다.) 의 중요한 결과이다.
이것이 기울기-인 직선상에 있다. 이 기울기 -인 직선과 수평선이 만나는 지점이 $\Omega_{\Lambda}=0$ 이고 $\Omega_{m}=1$ 인 상태이다. 이것은 30년전에 통용되었던 옛날의 표준 우주론 이다. 최근의 우주론은 계속 올라간다. 다크에너지에 의한 $\Omega_{\Lambda}$ 이 더 중요해진다. 우주 초기에는 공간자체의 에너지, 공간에 대한 진공 fluctuation인, 공간크기와 관련있는 다크에너지이기때문에 우주 초기에 공간크기가 작을때는 미미했다.
점점 우주시간이 흐르면서 다크에너지의 portion이 훨씬 커진것이다.

@ 천문학, 우주론에서 굉장히 중요한 허블망원경이 측정한 수퍼노바$I_{a}$ 인 $SNI_{a}$ 를 측정하여 다음과 같은 식이 유도되었다.
$\Omega_{\Lambda} - \Omega_{m} = 0.46$ 이 되야한다는 것을 밝혀냈다.

@ 두 식을 더해주면, $2\Omega_{\Lambda} = 1.46$
$\Omega_{\Lambda} = 0.73$ 따라서,
$\Omega_{m} = 0.27$
물질이 인류가 알았던 그 물질이 아니란 의미이다. dark matter : 0.23, 주기율표의 원자로 구성된 보통물질 : 0.04

@ 도표. cd84ce85-03b1-4e5c-9e3b-8b027e72d895 현재 우주는 현재 시점의 오메가 값 $\Omega_{0}$ 에 의해서 결정된다.
$\Omega_{0} < 1$ 이면 휘어진 우주가 된다.
$\Omega_{0} > 1$ 이면 수축하는 우주가 된다.
지금 우주의 상태인 $\Omega_{0} = 1$ 이면 플랫한, 하지마 가속 팽창하는 우주가 된다.

@ 도표. 32.45. 2005년도 발표된 자료이다. 다크매터, 개스, 포톤, 뉴트리노 등의 전체 관계가 어떤 식으로 바뀌는가 보여준다. 반지름의 역수값에 해당하는 Z값이 바뀐다. Z값이 대략 1100정도 되면 빨간선의 광자하고 물질입자인 개스하고 분리되는 디커플링 시대가 도래한다.

@ 아침이슬이 거미줄에 매달린 형성과 유사하게 다크매터가 거미줄처럼 미리 형성되어 있는데 다크매터의 중력에 의해서 물질 입자가 엉겨붙으면서 갤럭시들이 형성되었다.

@ 도표. 34 09.
허블망원경 같은것으로 우주가 가속 팽창된다는 것을 보여주는 것이다.

@ 밀도가 우주의 운명을 결정한다. 우주초기에는 다크 에너지는 미미했고 다크 매터는 큰 역할을했다. 다크 매터의 거미줄 처럼 형성된 중력장에 의해서 물질들이 엉겨붙어서 갤럭시가 형성 되었다고 보는 것이다. 137억년이 지난 지금은 다크 에너지가 더 중요해졌다. $\Omega_{\Lambda} = 0.73$ 이다.
물질에 의한 $\Omega_{m} = 0.27$
그 중에서 dark matter : 0.23, 주기율표의 원자로 구성된 보통물질 : 0.04