6. law of universal gravitation

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@ 물리학 역사에서 위대한 방정식 3개를 선택하래도 아마 뉴턴의 만유인력법칙은 들어갈 것이다. 뉴턴의 만유인력법칙은 우리가 자연에 대한 수학적 접근을 시작하여 수학적으로 법칙화 되는 중요한 예가된다.

@ 1 37 뉴튼 고전물리법칙이 아인슈타인 특수상대성에 fast 하게 영향줌. 아인슈타인의 양자역학에 일부 기여. 중력장 방정식, 일반상대성이론에는 뉴턴의 중력에 관한 만유인력법칙에서 유도된 포아송 방정식이 아인슈타인의 중력장방정식을 유도하는데 가이드라인이 되었던 중요한 이론이다. 일반상대성 이론을 이해하기 위해서 먼저 뉴턴의 중력의 법칙, 만유인력의 법칙을 수학적으로 철저히 이해하는 것이 우선 되어야 한다.

@ 뉴튼의 만유인력법칙
이과정을 추적하는 길은 행성운동에 관한 케플러의 법칙(뉴턴이 만유인력 법칙을 발견하기 약 50년전에 발견됨. 케플러는 뉴튼의 스승이다. 티코 브라헤가 평생 천체를 관측하며 축적한 자료들을 분석하여 케플러의 행성운동법칙을 발표함.)이 뉴튼 역학으로 수식화되는것이다.
케플러 법칙에 관한 more ideal 한 케이스로서 등속원운동을 고려해 보겠다. 등속원운동은 태양주위를 도는 행성운동에 근사적으로 적용되는 수학이다. 가운데 태양이 있고 어떤 물체가 등속원운동을 한다고 했을때, 이 점에서 속도가 V, 미소각 $\Delta \theta$ 로 닫긴 이 점에서의 접선 방향의 속도가 V' 라고 했을 때, 속도가 방향과 크기가 있는 벡터이므로, 이 두 벡터를 원점으로 이동시켜 맞추면 이렇게 된다. 속도의 변화는 $\Delta V$ 라고 할수있다.
각도와 호의 수학적 공식에 의해서
$\Delta V = V\Delta\theta$
각속도로 표시하면,
$\Delta V = V\Delta\omega t$
우리가 고려하는 등속원동의 경우는 각속도 $\omega$ 가 일정하다.
$\Delta V = V\omega\Delta t$
$\frac{\Delta V}{\Delta t}$ 하면, 시간의 변화에 대한 속도의 변화가 된다. 이것은 가속도이다. 이것은 속도 곱하기 각속도이다. 원운동의 각속도는 $2\pi$ 를 주기 T로 나누는 것이다.
주기 T는 원둘레 $2\pi r$ 을 속도 V로 나눠주는 것이다. 그런다음 정리한다. $\frac{\Delta V}{\Delta t}=a=vw=v\frac{2\pi}{T}=v\frac{2\pi}{\frac{2\pi r}{v}}=\frac{v^{2}}{r}$
가속도가 벡터이기 때문에, $\frac{v^{2}}{r}$ 는 r 의 중심을 향한다.

@ 뉴턴의 힘의 2법칙은 $\vec{F}=m\vec{a}=m\frac{v^{2}}{r}$
등속원운동에서의 속도는 거리 $2\pi r$ 를 주기 T로 나눠주는 것이다.
$\vec{F}=m\vec{a}=m\frac{v^{2}}{r}=\frac{m}{r} (\frac{2\pi r}{T})^{2}$
정리하면,
$\vec{F}=m\vec{a}=m\frac{v^{2}}{r}=\frac{m}{r} (\frac{2\pi r}{T})^{2}=\frac{4\pi^{2}mr}{T^{2}}$
이 때, 가속도의 양은 질량을 힘으로 나눠주면 된다. $a=\frac{m}{F}$ 따라서,
$a=\frac{m}{F}=\frac{4\pi^{2}r}{T^{2}}
$ 뉴턴이 처음에 만유인력법칙을 유도하는 과정에서 오랫동안 달의 운동에 대해서 깊이 생각을 했다. 그 당시 알려진 달의 공전주기(27.3일), 지구에서 달까지 거리(지구 반지름의 60배) 등을 뉴턴이 알고있었다. 그래서 뉴튼은 위 공식으로 달이 지구로 끌리는 가속도를 계산해 보았다.
$a_{moon}=\frac{4\pi^{2}(\frac{1}{2}earthdiameter*60)}{27.3day}^{2}$ 27.3일 을 초로 바꾼다. 반지름을 미터로 바꾼다. 그러면 뉴튼이 1600년대에 구한 지구에 대한 달의 중력가속도는
$a_{moon}=2.7\times10^{-3} \; m/sec^{2}$ 의 값으로 도출되었다.
위 값은 지구의 중력가속도 $g=9.8\;m/sec^{2}$ 에 대해서 대략 $\frac{1}{3600}$ 정도로 작은 값이다. 뉴턴이 고민한 것은 지구 주변의 물체가 지구의 중력으로 받는 가속도와 지구에 의해 달이 받는 중력가속도가 왜 이렇게 차이가 나는가 였다. 이게 혹시 거리의 제곱에 반비례하지 않는가? 하고 막연히 추측을 하고 있었다. 만유인력, 인력이 거리의 제곱에 반비례한다 는 것을 미리 계속 짐작을 하고 있던 와중에 자기가 했던 $\vec{F}=m\vec{a}$ 를 이용해서, 케플러의 행성에 관한 법칙들을 뉴턴역학으로 재구성해보기 시작했다.

@ 케플러의 제 1법칙.
행성이 태양을 중심으로 해서 태양둘레를 돌 때에는 타원에서 두 촛점중 하나가 태양의 촛점인 타원궤도를 그린다.
케플러가 티코 브라헤 하고 같이 연구를 하면서 티코 브라헤가 오랫동안 육안으로 관측한 엄청난 행성운동에 관한 데이터를 10년이상 수식화 하는 과정에서 발견하게 되었다.
케플러의 2 법칙. 동일 면적의 법칙
행성이 궤도를 돌때, 일정한 시간동안 쓸고 간 타원에서의 면적, 임의의 다른 궤도를 봤을때, 행성이 움직인 시간 $t_{1}, t_{2}$ 가 같을 경우, 타원에서의 면적 $A_{1}, A_{2}$ 가 같다.
케플러의 3법칙.
공전주의의 2승은 $T^{2}$ 평균궤도반지름의 3승 $r^{3}$ 에 비례한다.
$r^{3}=kT^{2}$ r은 태양에서 거리가 가장 긴 장반경 하고 단반경을 더해서 2로 나눈, 평균한 값이다. 원운동관점에서는 반지름에 해당한다.
$r^{3}=kT^{2}$ 에서 가장 중요한 포인트는 $\frac{r^{3}}{T^{2}}=k$ 로 일정하다는 것이다.
태양주변에서 9개 행성이 돌아갈때는 동일한 k 값을 갖는다. 목성에 위성이 많은데, 위성은 다른 k 값을 갖는다.

@ 뉴턴이 주목한것은 공전주기와 반지름에 관한 케플러 3법칙이다.
등속원운동에 의해서 유도된 구심력 $F=\frac{4\pi^{2}mr}{T^{2}}$ 에서 $T^{2}$ 에 케플러 3 법칙을 대입하였다. 만유인력법칙에서 가장 핵심인 거리의 제곱에 반비례한다는 내용을 수식화 하는 과정에서 결정적인 단계가 주기와 반지름에 관한 케플러의 3법칙을 적용한 과정이다.
$T^{2}=\frac{r^{3}}{k}$ 이므로,
$F=\frac{4\pi^{2}mr}{T^{2}} = \frac{4\pi^{2}mr}{\frac{r^{3}}{k}}
$ $F=\frac{4\pi^{2}mr}{T^{2}} = \frac{4\pi^{2}mr}{\frac{r^{3}}{k}} = 4\pi^{2}k\frac{m}{r^{2}}
$ 힘은 거리의 제곱에 반비례한다는 관계식을 도출하였다.

@ 위 도출된 수식을 세가지 시스템에 적용을 해보는 것이다.
처음에는 뉴턴이 케플러 법칙에서 시작을 했다. 태양에서 행성까지의 거리를 $r_{s}$ 라고 했을 때, 이 사이의 힘은 $F=4\pi^{2}K\frac{m}{r_{s}^{2}}$ 이다. m 은 행성의 질량이다. 가장 알고 싶어했던 비례상수 K 가 들어가있는 $4\pi^{2}K$ 가 뭔지 밝혀내는 과정이다.
@ 그 다음 또 적용한 시스템이 그 유명한 뉴튼의 사과이다. 지구가 있다고 하면, 사과나무끝에 사과가 있다고 치자. 사과와 지구 중력 사이 만유인력에 관한 것이다. 지구 중심과 사과와 작용하는 힘 $F=4\pi^{2}K^{e}\frac{m}{r_{e}^{2}}$ 사과에서 지구 표면까지의 거리는 지구 반지름에 비해서 거의 무시할 수 있으니까 $r_{e}^{2}$ , m 은 사과의 질량.

@ 그 다음에 뉴턴이 원래 관심이 있었던 시스템은 지구하고 달이다. 지구 주위를 달이 공전하는데 지구 중심에서 달까지의 거리를 $r_{m}$ 이라고 했을때, 지구가 달을 끄는 힘은 $F=4\pi^{2}K_{e}\frac{m_{moon}}{r_{m}^{2}}$

@ 이 세가지 시스템에서 뉴튼은 지구쪽으로 사과가 떨어지는 것하고, 달의 공전운동의 공통성을 주목하기 시작하였다.

@ 지구사과 에서 중력가속도 g를 계산할 수 있다. 뉴튼의 법칙 F=ma 로 부터 지구의 중력가속도를 g 라 하면 $g=\frac{F}{m}=4\pi^{2}K_{e}\frac{1}{r_{e}^{2}}$

@ 지구 달 시스템에서 지구 중심으로 부터 땡겨지는 가속도를 $a_{m}$ 이라 하면 $a_{m}=4\pi^{2}K_{e}\frac{1}{r_{m}^{2}}$

@ 위의 두 시스템에서의 가속도의 비를 구해보았다. $\frac{a_{m}}{g} = (\frac{r_{e}}{r_{m}})^{2}$
달의 중력가속도 $a_{m}=g(\frac{r_{e}}{r_{m}})^{2}$
$\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx \frac{1}{60}$
$g\approx 9.8 m/sec^{2}$
$a_{m}=g(\frac{r_{e}}{r_{m}})^{2}$
$a_{m}=9.8 m/sec^{2} (\frac{1}{60})^{2}$
$a_{m}=2.7\times 10^{-3} \; m/sec^{2}$ 이 된다.

@ 뉴턴이 단순원운동에다가 뉴턴의 F=ma 를 적용을 해서 유도한 공식이
$F=m\frac{v^{2}}{r}=\frac{m}{r}(\frac{2\pi r}{T})^{2}=\frac{4\pi^{2}mr}{T^{2}}$ 이다.
하지만 위 공식만 봐서는 거리의 제곱에 반비례 관계가 없다.

@ 하지만 위 공식을 이용해서 달의 중력가속도 $a_{moon}$ 을 구했다.

@ 그다음 뉴턴이 F=ma 공식하고 주기하고 반지름에 대한 케플러의 제 3법칙 을 결합해 유도한게 거리의 제곱에 반비례하는 $F=4\pi^{2}K\frac{m}{r^{2}}$ 이 공식을 유도했다.

@ 거리의 제곱에 반비례하는 $F=4\pi^{2}K\frac{m}{r^{2}}$ 이 공식을 태양계시스템, 지구사과시스템, 지구달 시스템에 적용을 했다.

@ 그리고 지구사과시스템에서 힘과 지구달시스템에서의 힘을 나눠서 달의 중력가속도 $a_{moon}$ 을 계산했더니 $a_{m}=2.7\times 10^{-3} \; m/sec^{2}$ 로 동일하게 두개 값을 얻었다.

@ 요약하면, 뉴턴이 단순원운동하고 뉴턴의 법칙 F=ma 만 가지고 유도했던 달의 중력가속도 $a_{moon}$ 하고 뉴턴의 법칙 + 케플러 법칙 해서 얻은 거리의 제곱에 반비례한다는 힘의 공식으로 유도한 달의 중력가속도 $a_{moon}$ 이 같은 값이 나왔다는 말의 의미는 사과든, 달이든, 태양이든, 태양 주위를 도는 행성이든, 모두 동일한 법칙의 지배를 받는다는 것이다. 모든 물체에 공통으로 적용되는 법칙이다. 그래서 뉴턴의 만유인력법칙이라고 부른다.

@ 만유인력에서 인력은 F이다. $F \propto \frac{1}{r^{2}}$ 이다. 거리제곱에 반비례하는 힘을 유도하는 과정에서 케플러 3법칙을 적용했고 케플러는 티코 브라헤가 측정했던 행성 궤도를 수식화해서 케플러 법칙을 유도했다.

@ 케플러는 행성이 타원궤도를 그린다 했는데 뉴튼은 단순원운동으로 보고 이런 결과를 얻은 것은 사실은 태양 주위를 도는 궤적이 타원이라 하지만 거시적으로 보면 거의 원운동에 가깝다. 태양은 지구 질량의 30만배라 원운동으로 봐도 무방하다. 단순원운동과 F=ma 를 결합한 것이 $F \propto \frac{1}{r^{2}}$ 로 유도된다.

@ 뉴턴이 거리의 제곱에 반비례하는 힘의 관계식을 일반화를 해보자.
어떤 질량 $m_{1}, m_{2}$ 가 있다. 이 사이의 힘이 이렇게 작용한다. 두거리 사이가 r이다. $m_{2}$ 가 $m_{1}$ 을 땡기는 힘은 $F=4\pi^{2}K_{1}\frac{m_{2}}{r^{2}}$ 이다. $m_{1}$ 이 $m_{2}$ 을 땡기는 힘은 $F=4\pi^{2}K_{2}\frac{m_{1}}{r^{2}}$ 이다. 앞에 붙은 비례상수들 $4\pi^{2}K_{1}, 4\pi^{2}K_{2}$ 이게 도대체 뭔가?
어쨋든 힘을 유도하는 factor 이기 때문에 질량에 비례해야된다고 보았다. 따라서, 비례상수 G 곱하기 질량 $m_{1}$ 인 $4\pi^{2}K_{1}=Gm_{1} , 4\pi^{2}K_{2}=Gm_{2}$
태양계시스템에서 $F=4\pi^{2}K_{sun}\frac{m}{r_{sun}^{2}}$ 에서
@ 뉴턴의 위대성은 두 물체 사이에 적용하는데, 우리가 일반적으로 궁금해 하는 것은, 지구가 있고 달이 돌아간다고 해보자. 지구에 의해서 달이 안쪽으로 가속도 $a_{moon}=2.7\times 10^{-3} \; m/sec^{2}$ 를 받는다. 이 운동에서 유일한 force 는 두 물체에 작용하는 만유인력인 중력밖에 없다. 그러면 달이 사과가 떨어지듯이 지구로 떨어져야할텐데 왜 안떨어지는가? 그 이유는 달이 접선방향으로 속도가 있는 움직이는 원운동을 하고 있기 때문이다. 접선방향으로 이만큼 간 사이에 이렇게 떨어진 것이다. 초당 0.27 cm 씩 달이 지구쪽으로 떨어지는, 자유낙하하는 것이다. 그런데 떨어짐과 동시에 계속 등속 원운동을 하고 있으니까 다시 옆으로 가서 떨어지고, 반복한다. 떨어지는 것은 지구 중심을 향한다.

@ 뉴튼은 만유인력법칙을 유도하고 1664년-1665년 사이에 당시에 프린키피아에서 이런 예측을 했다. 만약에 지구에 어떤 산이 있고 산 꼭대기에서 대포를 쏜다면 포탄이 아래로 덜어진다. 속도가 크면 더 멀리간다. 속도가 더 크면 더 멀리간다. 속도가 일정 수준 이상이 되면 영원히 지구궤도를 도는 인공위성이 될수 있다. 대략 초속 8 km 이상으로 대포를 쏘면 이 포탄은 영원히 지구 궤도를 돌것이다. 라고 정확하게 예측을 했다.

@ 인공위성의 공식은 뉴턴의 만유인력법칙에 의해서 $F=m\frac{v^{2}}{r}$ 이다.
가속도 $a=\frac{F}{m}$ 에 위 힘에 대한 수식을 대입하면, $a=\frac{F}{m}=\frac{v^{2}}{r}$
지구중력가속도가 g 이므로 $a=\frac{F}{m}=\frac{v^{2}}{r}=g$
따라서, 인공위성에 대한것은 다음의 공식으로 많은것을 설명할수있다. $\frac{v^{2}}{r}=g$
$v^{2}=gr$ 에서, 인공위성의 고도가 400 km 라면 여기에 지구반지름 $r_{earth}$ 을 해준다. $g=9.8 \; m/sec^{2}$ 이라고 봤을때,
$v=7.6 km/sec$ 즉, 초당 20 리 정도 달리는 속도면 인공위성이 될 수 있다. 대략 초속 8 km 이다.

@ 인공위성의 주기는 $\frac{v^{2}}{r}=g$
$v=\frac{2\pi r}{T}$ 를 위 에 대입한다. 인공위성이 지구를 한바퀴 도는데 걸리는 시간, 주기 T 는 90 분 정도 나온다.
@ 원심력은 가상의 힘이고 유일한 힘은 중력밖에 없다. 중요한 포인트이다. 중력이 끊어지면 원심력이 실제힘이라면 중력 반대방향으로 가야하는데 그렇지 않고 접선방향으로 등속도로 날아간다.
그래서 만유인력법칙이나 케플러법칙을 생각할 때 유일한 힘, 실체적 힘은 중력, 만유인력밖에 없다는 것이다.

@ 우주전체에서 중력이 왜 이렇게 중요하냐면 상세한 내막은 일반상대성이론에서 명확하게 드러난다. 우주에 있는 모든 존재하는 물질들은 그 움직임이 중력에 의해서 결정된 시공의 궤도만 따를 뿐이다. 우리가 말하는 만유인력힘은 일반상대성이론에 의하면 기하학으로 바뀐다. 그러한 포스가 있는 것이 아니고 태양이나 지구 질량에 의한 시공의 휘어짐이 있고 그 시공의 휘어짐, 휘어짐의 구조에 따라서 달이나 여러 물체들이 그러한 시공의 휘어짐의 궤도를 따라서 움직일 수 밖에 없다는 것이 일반 상대성 이론의 결론이다. 다시 말하면 그러한 모든 출발점이 결국 중력이라는 것이다.

@ 중력이 나타나는 여러 양상이 있다. 야구공을 던졌을 때 지구로다시 떨어지는 이 현상이나 태양을 중심으로 행성이 돌아가는 태양계 전체의 공전궤도 운동이나 두 쌍성계에 있어서 두개의 별이 질량중심을 향해서 공전하는 쌍성계 시스템이나, 쌍성계시스템은 천문학에서 중요하다 왜냐하면 대략 우주에 있는 별의 50퍼센트 홑별이 아니고 쌍성을 이루고 있기 때문이다. 그 쌍성을 이루는 두 공전 궤도는 만유인력법칙에 의해서 계산될수있다.

@ 중력다음에 우주론 전체에서 중요한 것은 빛이다. 특수 상대성이론의 출발점이 광속이 불변하다는 점이다. 광속이 고정되어 있기때문에 시간과 공간이 변화되는 것이다. 빛하고 중력에 의해서 설명되는게 별이다.
도표 45 20